Sistem Persamaan Kuadrat - Kuadrat dan Beberapa Contoh Soalnya

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real


Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai beriku

Langkah 1

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru

Langkah 2

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama

Langkah 3

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana


Contoh Soal 

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya

y = x

y = 2x2 – 3

Jawab

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh

⇒ x2 = 2x

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 

⇒ x2 – 3x = 

⇒ x(x – 3) = 

⇒ x = 0 atau x = 

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2

■ Untuk x = 0 diperoleh

⇒ y = x

⇒ y = (0)

⇒ y = 

■ Untuk x = 3 diperoleh

⇒ y = x

⇒ y = (3)

⇒ y = 

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya

y = x2 – 

y = x2 – 2x – 

Jawab

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 

⇒ 2x = –

⇒ x = –

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh

⇒ y = x2 – 

⇒ y = (–1)2 – 

⇒ y = 1 – 

⇒ y = 

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

Contoh Soal 3


Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometriny

y = −2x

y = x2 + 2x + 

Jawab

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini

D = b2 – 4a

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1

⇒ D = 4 – 1

⇒ D = –

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat).82):c.001::12a.:).0111:1213::31.:).922:022:.30002::x2.1:.:.:.:t..)). ini.

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat)


Postingan populer dari blog ini

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. Dan dalam menyelesaikan persoalan tersebut ini, kita harus menemukan solusinya dengan menggunakan sistem persamaan.  Jenis SPLK dan Bentuk Umumnya. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Oleh karena itu, SPLK eksplisit ini memiliki bentuk umum sebagai berikut. y = ax + b ……………………. (bagian linear) y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat) SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut. ax + by + c = 0 ………………………………. (bagian linear) px2 + qy2 + rxy + sx + ty ...
Baca selengkapnya

SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU, SUDUT ELEVASI DAN SUDUT DEPRESI

Gambar
Masalah Kontekstual mengenai Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku (Sudut Elevasi dan Sudut Depresi) Pada materi sebelumnya, telah dipelajari mengenai perbandingan trigonometri (link https://mathematics4us.com/perbandingan-trigonometri-pada-segitiga-siku-siku/). Pada kesempatan ini kami akan membahas mengenai aplikasinya di kehidupan sehari-hari. Pernahkah anda melihat seseorang mengukur suatu benda yang tinggi menggunakan klinometer? Klinometer adalah alat untuk mengukur sudut kemiringan atau sudut elevasi. Nah! Kita dapat mengetahui tinggi ataupun jarak dari objek tersebut dengan mengetahui sudut elevasi atau sudut depresi serta elemen-elemen yang lainnya. Apakah sudut elevasi dan sudut depresi itu? Untuk mengetahui definisi kedua macam sudut tersebut, perhatikan ilustrasi berikut. Sudut Elevasi adalah sudut yang terbentuk oleh garis horizontal dengan mata pengamat dengan arah pandang ke atas. Sudut Depresi adalah sudut yang terbentuk oleh garis ...
Baca selengkapnya